countBits 的时间复杂度

考虑 countBits, 上面的算法:

  • “版本1” 的时间复杂度是 O(N*M),M 取决于 Number.prototype.toString
    和 String.prototype.replace 的复杂度。
  • “版本2” 的时间复杂度是 O(N*logN)
  • “版本3” 的时间复杂度是 O(N*M),M 是 N 的二进制数中的“1”的个数,介于
    1 ~ logN 之间。

上面三个版本的 countBits 的时间复杂度都大于 O(N)。那么有没有时间复杂度
O(N) 的算法呢?

实际上,“版本3”已经为我们提示了答案,答案就在上面的那个定律里,我把那个等式再写一遍:

countBit(n & (n – 1)) === countBit(n) – 1

1
countBit(n & (n – 1)) === countBit(n) – 1

也就是说,如果我们知道了 countBit(n & (n - 1)),那么我们也就知道了
countBit(n)

而我们知道 countBit(0) 的值是 0,于是,我们可以很简单的递推:

版本4

function countBits(nums){ var ret = [0]; for(var i = 1; i <= nums;
i++){ ret.push(ret[i & i – 1] + 1); } return ret; }

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function countBits(nums){
   var ret = [0];
   for(var i = 1; i <= nums; i++){
       ret.push(ret[i & i – 1] + 1);
   }
   return ret;
}

原来就这么简单,你想到了吗 ╮(╯▽╰)╭

以上就是所有的内容,简单的题目思考起来很有意思吧?程序员就应该追求完美的算法,不是吗?

这是 leetcode
算法面试题系列的第一期,下一期我们讨论另外一道题,这道题也很有趣:判断一个非负整数是否是
4 的整数次方
,别告诉我你用循环,想想更巧妙的办法吧~

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不用内置函数

这个问题的关键思路和上一道题类似,先考虑“4”的幂的二进制表示:

  • 40 = 1B
  • 41 = 100B
  • 42 = 10000B
  • 43 = 1000000B
  • ……

也就是每个数比上一个数的二进制后面多两个零嘛。最重要的是,“4”的幂的二进制数只有
1 个“1”。如果仔细阅读过上一篇,你就会知道,判断一个二进制数只有 1
个“1”,只需要:

JavaScript

(num & num – 1) === 0

1
(num & num – 1) === 0

但是,二进制数只有 1
个“1”只是“4”的幂的必要非充分条件,因为“2”的奇数次幂也只有 1
个“1”。所以,我们还需要附加的判断:

JavaScript

(num & num – 1) === 0 && (num & 0xAAAAAAAA) === 0

1
(num & num – 1) === 0 && (num & 0xAAAAAAAA) === 0

为什么是 num & 0xAAAAAAAA === 0? 因为这个确保 num 的二进制的那个 “1”
出现在“奇数位”上,也就确保了这个数确实是“4”的幂,而不仅仅只是“2”的幂。

最后,我们得到完整的版本:

版本3

JavaScript

function isPowerOfFour(num) { return num > 0 && (num & (num-1)) === 0
&& (num & 0xAAAAAAAA) === 0; };

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function isPowerOfFour(num) {
    return num > 0 && (num & (num-1)) === 0
                   && (num & 0xAAAAAAAA) === 0;
};

上面的代码需要加上 num > 0,是因为 0 要排除在外,否则 (0 & -1) === 0
也是 true


//获取字符数组
String.prototype.ToCharArray=function()
{
         return this.split(“”);
}
//获取N个相同的字符串
String.prototype.Repeat=function(num)
{
    var tmpArr=[];
    for(var i=0;i<num;i++)    tmpArr.push(this);
    return tmpArr.join(“”);
}
//逆序
String.prototype.Reverse=function()
{
     return this.split(“”).reverse().join(“”);
}
//测试是否是数字
String.prototype.IsNumeric=function()
{
    var tmpFloat=parseFloat(this);
    if(isNaN(tmpFloat))    return false;
    var tmpLen=this.length-tmpFloat.toString().length;
    return tmpFloat+”0″.Repeat(tmpLen)==this;
}
//测试是否是整数
String.prototype.IsInt=function()
{
    if(this==”NaN”)    return false;
    return this==parseInt(this).toString();
}
// 合并多个空白为一个空白
String.prototype.resetBlank = function()
{
    return this.replace(/s+/g,” “);
}
// 除去左边空白
String.prototype.LTrim = function()
{
    return this.replace(/^s+/g,””); 

// 除去右边空白
String.prototype.RTrim = function()
{
    return this.replace(/s+$/g,””); 
}
// 除去两边空白
String.prototype.trim = function()
{
    return this.replace(/(^s+)|(s+$)/g,””); 
}
// 保留数字
String.prototype.getNum = function()
{
    return this.replace(/[^d]/g,””);
}
// 保留字母
String.prototype.getEn = function()
{
    return this.replace(/[^A-Za-z]/g,””); 
}
// 保留中文
String.prototype.getCn = function()
{
    return this.replace(/[^u4e00-u9fa5uf900-ufa2d]/g,””);
}
// 得到字节长度
String.prototype.getRealLength = function()
{
    return this.replace(/[^x00-xff]/g,”–“).length;
}
// 从左截取指定长度的字串
String.prototype.left = function(n)
{
    return this.slice(0,n);
}
// 从右截取指定长度的字串
String.prototype.right = function(n)
{
    return this.slice(this.length-n);
}
// HTML编码
String.prototype.HTMLEncode = function()
{
    var re = this;
    var q1 = [/x26/g,/x3C/g,/x3E/g,/x20/g];
    var q2 = [“&”,”<“,”>”,” “];
    for(var i=0;i<q1.length;i++)
    re = re.replace(q1[i],q2[i]);
    return re;
}
// Unicode转化
String.prototype.ascW = function()
{
    var strText = “”;
    for (var i=0; i<this.length; i++) strText += “” + this.charCodeAt(i) + “;”;
    return strText;

最简单的思路:对每个数,利用移位和按位与(i &
1)运算,计算1的个数。这样时间复杂度为O(n*sizeof(integer)),如果int用32位表示,那么时间复杂度就是O(32n)。

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“4”的整数次幂

给定一个32位有符号整数(32 bit signed
integer),写一个函数,检查这个整数是否是“4”的N次幂,这里的N是非负整数。

例如:

  • 给定 num = 16,返回 true,因为 16 = 42
  • 给定 num = 5,返回 flase

附加条件: 你能够不用循环和递归吗?

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这应该是一道新放入的题。意思是给你一个非负整数num,对于0到num这(num+1)个整数,求出每个数用二进制表示时1的个数。

解题思路

这道题咋一看还挺简单的,无非是:

  • 实现一个方法 countBit,对任意非负整数
    n,计算它的二进制数中“1”的个数
  • 循环 i 从 0 到 num,求 countBit(i),将值放在数组中返回。

JavaScript中,计算 countBit 可以取巧:

function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,””).length; }

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function countBit(n){
    return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
}

上面的代码里,我们直接对 n 用 toString(2)
转成二进制表示的字符串,然后去掉其中的0,剩下的就是“1”的个数。

然后,我们写一下完整的程序:

版本1

function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,”).length; }
function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i <= nums;
i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; }

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function countBit(n){
   return n.toString(2).replace(/0/g,”).length;
}
 
function countBits(nums){
   var ret = [];
   for(var i = 0; i <= nums; i++){
       ret.push(countBit(i));
   }
   return ret;
}

上面这种写法十分讨巧,好处是 countBit 利用 JavaScript
语言特性实现得十分简洁,坏处是如果将来要将它改写成其他语言的版本,就有可能懵B了,它不是很通用,而且它的性能还取决于
Number.prototype.toString(2) 和 String.prototype.replace 的实现。

所以为了追求更好的写法,我们有必要考虑一下 countBit 的通用实现法。

我们说,求一个整数的二进制表示中 “1” 的个数,最普通的当然是一个 O(logN)
的方法:

function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret += n & 1; n
>>= 1; } return ret; }

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function countBit(n){
    var ret = 0;
    while(n > 0){
        ret += n & 1;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

所以我们有了版本2

这么实现也很简洁不是吗?但是这么实现是否最优?建议此处思考10秒钟再往下看。


其他版本

上面的版本已经符合了我们的需求,时间复杂度是 O(1),不用循环和递归。

此外,我们还可以有其他的版本,它们严格来说有的还是“犯规”,但是我们还是可以学习一下这些思路:

版本4:用 Math.sqrt

JavaScript

function isPowerOfFour(num) { num = Math.sqrt(num); return num > 0 &&
num === (0|num) && (num & (num-1)) === 0; };

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function isPowerOfFour(num) {
    num = Math.sqrt(num);
    return num > 0 && num === (0|num) && (num & (num-1)) === 0;
};

版本5:用正则表达式

JavaScript

function isPowerOfFour(num) { return /^1(00)*$/g.test(num.toString(2));
};

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function isPowerOfFour(num) {
    return /^1(00)*$/g.test(num.toString(2));
};

以上就是所有的内容,这道题有非常多种思路,相当有趣,也比较考验基本功。如果你有自己的思路,可以留言参与讨论。

下一期我们讨论另外一道题,这道题比这两道题要难一些,但也更有趣:给定一个正整数
n,将它拆成至少两个正整数之和,对拆出的正整数求乘积,返回能够得到的乘积最大的结果

想一想你的解法是什么?你能够尽可能减少算法的时间复杂度吗?期待你的答案~~

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打赏作者

容易发现,除了11最右边那个位和5的最高位,其他位对应一样。也就是说i用二进制表示时1出现的次数等于i/2中1出现的次数加1(如果i用二进制表示时最右边一位为1,否则不加1)。这样我们在计算i时可以利用前面已计算出的i/2:ret[i]
= ret[i/2] + (i % 2 == 0 ? 0 : 1);

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